Avoidable Rectangle



Eine Situation in einem eindeutigen Sudoku, bei dem zwei Kandidaten 'A' und 'B' in VIER rechteckförmig angeordneten Zellen genau ZWEI Zeilen und ZWEI Spalten und ZWEI Blöcke belegt, ist unmöglich:

      AB - AB
      |     |
      AB - AB

   Hier zeigen die grünen Zellen ein gültiges Muster in einem eindeutigen Sudoku (da 2 Zeilen und 2 Spalten und 4 Blöcke!),
  die roten Zellen dagegen ein unmögliches Muster ("deadly pattern") mit 2 Zeilen und 2 Spalten und 2 Blöcke:

   

Bei diesem unmöglichen Muster ("deadly pattern") würde sich ein Sudoku mit 2 Lösungen (also KEIN eindeutiges mit nur EINER Lösung) ergeben,
da die Kandidaten 'A' und 'B' untereinander austauschbar wären:

      A - B               B - A
      |   |     oder      |   |
      B - A               A - B

 Daraus abgeleitet, wurde die Lösungstechnik 'Avoidable Rectangle' ('Vermeidbares Rechteck') entwickelt,
die auf dem Ausschluss der Zweilösungs-Situation basiert:

Voraussetzungen für 'Avoidable Rectangle':



      Varianten:      

    Avoidable Rectangle I        = mit 1 ungelösten Zelle

    Avoidable Rectangle II       = mit 2 ungelösten Zellen mit GLEICHEN Zusatzkandidaten

    Avoidable Rectangle III      = mit 2 ungelösten Zellen mit UNGLEICHEN Zusatzkandidaten





 



      Avoidable Rectangle   I


DREI der vier Zellen des 'Avoidable Rectangle I' sind bereits mit den Kandidaten 'A' oder 'B' gelöst und nur in EINER Zelle muss mindestens ein zusätzlicher Kandidat 'x' vorhanden sein und so können in dieser EINEN Zelle beide Kandidaten 'AB' sicher ausgeschlossen werden:


       Ax -- B        A -- Bx        A --- B        A --- B
       |     |        |     |        |     |        |     |
       |     |        |     |        |     |        |     |
       B --- A        B --- A        Bx -- A        B -- Ax

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   |         |         |         |
   | -  -  A | -  -  - | -  B  - |
   | -  -  B | -  -  - | -  Ax - |
   | -  -  - | -  -  - | -  -  - |
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Beispiel mit Kandidatenpaar '46':

000250080003001024000800001240065000900000003000140052800003000320500900090026000


Beim Vorhandensein der Kandidaten '1' + '6' innerhalb der markierten Zellen, die nicht ein Teil der Vorgabe sind, würde ein Sudoku mit ZWEI Lösungen gebildet, was unmöglich ist.
   6 - 4        4 - 6
   4 - 6        6 - 4
Um diese Doppellösung innerhalb dieser VIER 'Avoidable Rectangle'-Zellen zu vermeiden, ist der Kandidat '6' in der hellblau markierten Zelle sicher auszuschließen, da NUR DORT zusätzliche Kandidaten vorhanden sind (hier nur Kandidat '1').

EINER dieser zusätzlichen Kandidaten (hier nur '1') muss in dieser Zelle 'H8' (hier hellblau markiert) vorhanden sein, damit ein eindeutiges Sudoku mit einer Lösung garantiert ist.

Dabei können auch nur EIN oder auch MEHRERE zusätzliche Kandidaten in dieser EINEN von VIER 'Avoidable Rectangle'-Zellen vorhanden sein.

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   |         |         |         |
   | -  -  - | -  -  - | -  -  - |
   | -  -  - | A  - Bx | -  -  - |
   | -  -  - | -  -  - | -  -  - |
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   |         |         |         |
   | -  -  - | -  -  - | -  -  - |
   | -  -  - | -  -  - | -  -  - |
   | -  -  - | B  -  A | -  -  - |
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Beispiel mit Kandidatenpaar '18':

584000637006000500700000002043705120000030000015902870450000091002000300369000754


Beim Vorhandensein der Kandidaten '1' + '8' innerhalb der markierten Zellen, die nicht ein Teil der Vorgabe sind, würde ein Sudoku mit ZWEI Lösungen gebildet, was unmöglich ist.
   1 - 8        8 - 1
   8 - 1        1 - 8
Um diese Doppellösung innerhalb dieser VIER 'Avoidable Rectangle'-Zellen zu vermeiden, ist der Kandidat '8' in der hellblau markierten Zelle sicher auszuschließen, da NUR DORT zusätzliche Kandidaten vorhanden sind (hier nur Kandidat '6').

EINER dieser zusätzlichen Kandidaten (hier nur '6') muss in dieser Zelle 'E6' (hier hellblau markiert) vorhanden sein, damit ein eindeutiges Sudoku mit einer Lösung garantiert ist.

Dabei können auch nur EIN oder auch MEHRERE zusätzliche Kandidaten in dieser EINEN von VIER 'Avoidable Rectangle'-Zellen vorhanden sein.

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Avoidable Rectangle I ... Beispiel A:



Beispiel mit Kandidatenpaar '37':

000005000100264008080090020059000002000010090400000860030050010800436509000102000



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Avoidable Rectangle I ... Beispiel B:



Beispiel mit Kandidatenpaar '23':

090050000005201400000309000749000503300000007658000902000602000002904600080070000



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Avoidable Rectangle I ... Beispiel C:



Beispiel mit Kandidatenpaar '59':

005408900620000048300902007900306004003000600000104000000080000590000082002605100



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      Avoidable Rectangle   II


ZWEI der vier Zellen des 'Avoidable Rectangle II' sind bereits mit den Kandidaten 'A' oder 'B' gelöst und nur in ZWEI Zellen innerhalb EINER Region sind jeweils einer der Kandidaten 'A' oder 'B' UND der GLEICHE zusätzliche Kandidat 'x' vorhanden und so kann im Schnittbereich dieser ZWEI Zellen dieser GLEICHE zusätzliche Kandidat 'x' außerhalb der VIER Zellen sicher ausgeschlossen werden:


       Ax -- Bx       A -- Bx        A --- B        Ax -- B
       |     |        |     |        |     |        |     |
       |     |        |     |        |     |        |     |
       B --- A        B -- Ax        Bx -- Ax       Bx -- A

   _________ _________ _________
   |         |         |         |
   | -  -  - | -  -  - | -  x  - |
   | -  -  - | -  -  - | -  x  - |
   | -  -  - | -  -  - | -  x  - |
   |_________|_________|_________|
   |         |         |         |
   | -  -  - | -  -  - | -  x  - |
   | -  -  - | -  -  - | -  x  - |
   | -  -  - | -  -  - | -  x  - |
   |_________|_________|_________|
   |         |         |         |
   | -  A  - | -  -  - | x  Bx x |
   | -  -  - | -  -  - | x  x  x |
   | -  B  - | -  -  - | x  Ax x |
   |_________|_________|_________|


Beispiel mit Kandidatenpaar '24':

000000000806209407430000062000617000000508000700942003900000008605403701007000300


Beim Vorhandensein der Kandidaten '2' + '4' innerhalb der gelb markierten Zellen, die nicht ein Teil der Vorgabe sind, würde ein Sudoku mit ZWEI Lösungen gebildet, was unmöglich ist.
   4 - 2        2 - 4
   2 - 4        4 - 2
Um diese Doppellösung innerhalb dieser VIER 'Avoidable Rectangle'-Zellen zu vermeiden, muss in EINER der beiden ungelösten Zellen 'G8' oder 'I8' der zusätzliche Kandidat '5' enthalten sein, da NUR DORT (hier in 'G8' oder 'I8') EIN zusätzlicher GLEICHER Kandidat (hier '5') in diesem Ausschlussrechteck vorhanden ist.

Dies ergibt, das EINER dieser beiden '5' (hier in 'G8' oder 'I8') enthalten sein muss, damit ein eindeutiges Sudoku mit einer Lösung garantiert ist.

Das wir nicht wissen, welche der beiden '5' (hier in 'G8' oder 'I8') wahr ist, spielt hier keine Rolle!
So können also alle '5' im Schnittbereich dieser beiden definierten '5'er-Zellen (hier von 'G8' und 'I8') sicher ausgeschlossen werden.
(Also in allen Zellen, die von diesen beiden Zellen 'gesehen' werden (hier Spalte 8 und rechter unterer Block))

In diesem Beispiel kann also die '5' in den hellblau markierten Zellen sicher ausgeschlossen werden.

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   |         |         |         |
   | -  -  - | -  -  - | -  -  - |
   | -  -  - | -  -  - | -  -  - |
   | -  -  - | -  -  - | -  -  - |
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   | -  -  - | -  -  - | -  -  - |
   | -  -  - | -  -  - | -  -  - |
   | -  -  - | B  -  A | -  -  - |
   |_________|_________|_________|
   |         |         |         |
   | -  -  - | x  x  x | -  -  - |
   | -  -  - | x  x  x | -  -  - |
   | x  x  x | Ax x  Bx| x  x  x |
   |_________|_________|_________|


Beispiel mit Kandidatenpaar '46':

000009001090050070001200400730000048020731000000080000009502800040090050800000007


Beim Vorhandensein der Kandidaten '4' + '6' innerhalb der gelb markierten Zellen, die nicht ein Teil der Vorgabe sind, würde ein Sudoku mit ZWEI Lösungen gebildet, was unmöglich ist.
   6 - 4        4 - 6
   4 - 6        6 - 4
Um diese Doppellösung innerhalb dieser VIER 'Avoidable Rectangle'-Zellen zu vermeiden, muss in EINER der beiden ungelösten Zellen 'I4' oder 'I6' der zusätzliche Kandidat '3' enthalten sein, da NUR DORT (hier in 'I4' oder 'I6') EIN zusätzlicher GLEICHER Kandidat (hier '3') in diesem Ausschlussrechteck vorhanden ist.

Dies ergibt, das EINER dieser beiden '3' (hier in 'I4' oder 'I6') enthalten sein muss, damit ein eindeutiges Sudoku mit einer Lösung garantiert ist.

Das wir nicht wissen, welche der beiden '3' (hier in 'I4' oder 'I6') wahr ist, spielt hier keine Rolle!
So können also alle '3' im Schnittbereich dieser beiden definierten '3'er-Zellen (hier von 'I4' und 'I6') sicher ausgeschlossen werden.
(Also in allen Zellen, die von diesen beiden Zellen 'gesehen' werden (hier Zeile I und mittlerer unterer Block 8))

In diesem Beispiel kann also die '3' in den hellblau markierten Zellen sicher ausgeschlossen werden.

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Avoidable Rectangle II ... Beispiel A:



Beispiel mit Kandidatenpaar '19':

005080400020000090304000502000871000801040603000326000708000105030000080002060300



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Avoidable Rectangle II ... Beispiel B:



Beispiel mit Kandidatenpaar '27':

004500130000020000800007600070143508500070004010805000037001000190400000000000300



Top


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Avoidable Rectangle II ... Beispiel C:



Beispiel mit Kandidatenpaar '13':

000000006109204005070008010704306001000902000200405903050600070600809102800000000



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      Avoidable Rectangle   III/1 (m. Nackte 2er)


ZWEI der vier Zellen des 'Avoidable Rectangle III/1' sind bereits mit den Kandidaten 'A' oder 'B' gelöst und NUR in ZWEI Zellen innerhalb EINER Region sind zusätzliche Kandidaten 'xy' vorhanden. Diese bilden symbolisch EINE Zelle mit diesen ZWEI Kandidaten 'xy' und MIT EINER zusätzlichen Zelle mit diesen ZWEI Kandidaten 'xy' innerhalb dieser EINEN Region entsteht ein symbolischer 'Nackter 2er'. So können diese Kandidaten 'xy' ausserhalb dieser Zellen innerhalb dieser EINEN Region sicher ausgeschlossen werden:


      ...........     ...............     ...........     ...............
      :A      Bx:     :A     B      :     :Ay      B:     :Ax    By   xy:
      :         :     :             :     :         :     :             :
      :         :     :             :     :         :     :             :
      :B      Ay:     :By    Ax   xy:     :Bx      A:     :B     A      :
      :         :     ...............     :         :     ...............
      :       xy:                         :xy       :
      ...........                         ...........

   _________ _________ ___________
   |         |         |           |
   | -  -  - | -  -  - | -  -  xy  |
   | -  -  - | -  -  - | -  -  xy  |
   | -  -  - | -  -  - | -  -  xy  |
   |_________|_________|___________|
   |         |         |           |
   | -  -  - | -  -  A | xy xy Bxy |
   | -  -  - | -  -  B | xy xy Ay  |
   | -  -  - | -  -  - | xy xy xy  |
   |_________|_________|___________|
   |         |         |           |
   | -  -  - | -  -  - | -  -  xy  |
   | -  -  - | -  -  - | -  -  xy  |
   | -  -  - | -  -  - | -  -  xy  |
   |_________|_________|___________|


Beispiel mit Kandidatenpaar '34':

800000605009405108000009000590000800000010000304000570900701000150300000003000709


Beim Vorhandensein der Kandidaten '3' + '4' innerhalb der hellbraun markierten Zellen, die nicht ein Teil der Vorgabe sind, würde ein Sudoku mit ZWEI Lösungen gebildet, was unmöglich ist.
   4 - 3        3 - 4
   3 - 4        4 - 3
Diese Doppellösung ist unmöglich. Und so steht fest, dass in EINER der beiden Zellen 'D9' ODER 'E9' der Kandidat '1' oder '2' enthalten sein muss, da NUR DORT (hier in 'D9' und 'E9') zusätzliche Kandidaten (hier '1' und '2') in diesem 'Avoidable Rectangle III' vorhanden sind.

Mindestens einer der beiden Kandidaten (hier '1' oder '2') muss in einer der beiden Zellen (hier in 'D9' und 'E9') liegen, damit ein eindeutiges Sudoku mit einer Lösung garantiert ist. Und bildet man daraus symbolisch EINE Zelle mit diesen Kandidaten (hier '1' und '2') und ergänzt diese mit EINER weiteren Zelle (hier gelb markiert 'F9') mit diesen Kandidaten, so entsteht eine Kombination aus ZWEI Zellen mit ZWEI Kandidaten ('Nackter 2er') innerhalb einer Region (hier Spalte 9 und/oder Block 6).
Und so können diese zusätzlichen Kandidaten (hier '1' und '2') ausserhalb dieser Kombination im Schnittbereich als unmögliche Kandidaten sicher ausgeschlossen werden.

In diesem Beispiel sind es die '2' in den hellblau markierten Zellen.

Top


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   |          |          |          |
   | -  -  -  | -  -  -  | -  -  -  |
   | -  -  -  | -  -  -  | -  -  -  |
   | xy Ay Bx | xy xy xy | xy xy xy |
   |__________|__________|__________|
   |          |          |          |
   | -  -  -  | -  -  -  | -  -  -  |
   | -  -  -  | -  -  -  | -  -  -  |
   | -  -  -  | -  -  -  | -  -  -  |
   |__________|__________|__________|
   |          |          |          |
   | -  -  -  | -  -  -  | -  -  -  |
   | -  -  -  | -  -  -  | -  -  -  |
   | -  B  A  | -  -  -  | -  -  -  |
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Beispiel mit Kandidatenpaar '89':

000000902006009004000104000107406200020000050300201409000903000402000500600000103


Beim Vorhandensein der Kandidaten '8' + '9' innerhalb der hellbraun markierten Zellen, die nicht ein Teil der Vorgabe sind, würde ein Sudoku mit ZWEI Lösungen gebildet, was unmöglich ist.
   9 - 8        8 - 9
   8 - 9        9 - 8
Diese Doppellösung ist unmöglich. Und so steht fest, dass in EINER der beiden Zellen 'C2' ODER 'C3' der Kandidat '3' oder '7' enthalten sein muss, da NUR DORT (hier in 'C2' und 'C3') zusätzliche Kandidaten (hier '3' und '7') in diesem 'Avoidable Rectangle III' vorhanden sind.

Mindestens einer der beiden Kandidaten (hier '3' oder '7') muss in einer der beiden Zellen (hier in 'C2' und 'C3') liegen, damit ein eindeutiges Sudoku mit einer Lösung garantiert ist. Und bildet man daraus symbolisch EINE Zelle mit diesen Kandidaten (hier '3' und '7') und ergänzt diese mit EINER weiteren Zelle (hier gelb markiert 'C7') mit diesen Kandidaten, so entsteht eine Kombination aus ZWEI Zellen mit ZWEI Kandidaten ('Nackter 2er') innerhalb einer Region (hier Zeile C).
Und so können diese zusätzlichen Kandidaten (hier '3' und '7') ausserhalb dieser Kombination im Schnittbereich als unmögliche Kandidaten sicher ausgeschlossen werden.

In diesem Beispiel sind es die '3' und '7' in den hellblau markierten Zellen.

Top


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Avoidable Rectangle III/1 ... Beispiel A:



Beispiel mit Kandidatenpaar '45':

080309000003060000002700000700000008240030006600000093000002400000050800000896050



Top


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Avoidable Rectangle III/1 ... Beispiel B:



Beispiel mit Kandidatenpaar '37':

000005000900010402400000006060000000070108020000042080700000000509060704000201005



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Avoidable Rectangle III/1 ... Beispiel C:



Beispiel mit Kandidatenpaar '12':

500000008040000000000701300708000406004003907306040801000896000000500010900010000



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      Avoidable Rectangle   III/2 (m. Nackte 3er)


ZWEI der vier Zellen des 'Avoidable Rectangle III/2' sind bereits mit den Kandidaten 'A' oder 'B' gelöst und NUR in ZWEI Zellen innerhalb EINER Region sind zusätzliche Kandidaten 'xy' vorhanden. Diese bilden symbolisch EINE Zelle mit diesen ZWEI Kandidaten 'xy' und MIT ZWEI weiteren zusätzlichen Zellen mit diesen ZWEI Kandidaten 'xy' und Kandidat 'z' innerhalb dieser EINEN Region entsteht ein symbolischer 'Nackter 3er'. So können diese Kandidaten 'xyz' ausserhalb dieser Zellen innerhalb dieser EINEN Region sicher ausgeschlossen werden:


      ...........     ...................     ...........     ...................
      :A      Bx:     :A     B          :     :Ay      B:     :Ax     By  xyz xy:
      :         :     :                 :     :         :     :                 :
      :         :     :                 :     :         :     :                 :
      :B      Ay:     :By    Ax   xyz xy:     :Bx      A:     :B      A         :
      :         :     ...................     :         :     ...................
      :      xyz:                             :xyz      :
      :       xy:                             : xy      :
      ...........                             ...........                      

   _________ __________ _________
   |         |          |         |
   | -  -  - | xyz -  - | -  -  - |
   | -  -  - | Ax  -  B | -  -  - |
   | -  -  - | xyz -  - | -  -  - |
   |_________|__________|_________|
   |         |          |         |
   | -  -  - | xyz -  - | -  -  - |
   | -  -  - | By  -  A | -  -  - |
   | -  -  - | xz  -  - | -  -  - |
   |_________|__________|_________|
   |         |          |         |
   | -  -  - | xyz -  - | -  -  - |
   | -  -  - | yz  -  - | -  -  - |
   | -  -  - | xyz -  - | -  -  - |
   |_________|__________|_________|


Beispiel mit Kandidatenpaar '35':

003706000000040000016000450000000001190000040300004008047901300000050000009038600


Beim Vorhandensein der Kandidaten '3' + '5' innerhalb der hellbraun markierten Zellen, die nicht ein Teil der Vorgabe sind, würde ein Sudoku mit ZWEI Lösungen gebildet, was unmöglich ist.
   5 - 3        3 - 5
   3 - 5        5 - 3
Diese Doppellösung ist unmöglich. Und so steht fest, dass in EINER der beiden Zellen 'B4' ODER 'E4' der Kandidat '1' oder '6' enthalten sein muss, da NUR DORT (hier in 'B4' und 'E4') zusätzliche Kandidaten (hier '1' und '6') in diesem 'Avoidable Rectangle III/2' vorhanden sind.

Mindestens einer der beiden UNTERSCHIEDLICHEN Kandidaten (hier '1' oder '6') müssen in diesen beiden Zellen (hier in 'B4' ODER 'E4') liegen, damit ein eindeutiges Sudoku mit einer Lösung garantiert ist. Bildet man aus diesen beiden Zellen symbolisch EINE Zelle mit diesen Kandidaten (hier '1,6') und ergänzt diese mit ZWEI weiteren Zellen (hier gelb markiert), so entsteht eine Kombination aus DREI Zellen mit DREI Kandidaten ('Nackter 3er') innerhalb einer Region (hier Spalte 4).
Und so können diese DREI Kandidaten ausserhalb dieser Kombination als unmögliche Kandidaten innerhalb dieser Region (hier Spalte 4) sicher ausgeschlossen werden.

In diesem Beispiel ist es die '6' in der hellblau markierten Zelle 'D4'.

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   |             |         |         |
   | xyz xyz yz  | -  -  - | -  -  - |
   | Ay  xyz xyz | -  -  - | B  -  - |
   | Bx  xyz xyz | -  -  - | A  -  - |
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   |             |         |         |
   |  -   -   -  | -  -  - | -  -  - |
   |  -   -   -  | -  -  - | -  -  - |
   |  -   -   -  | -  -  - | -  -  - |
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Beispiel mit Kandidatenpaar '47':

000000200002804100100205609050006010000000003090308050601509804005001000009020000


Beim Vorhandensein der Kandidaten '4' + '7' innerhalb der hellbraun markierten Zellen, die nicht ein Teil der Vorgabe sind, würde ein Sudoku mit ZWEI Lösungen gebildet, was unmöglich ist.
   4 - 7        7 - 4
   7 - 4        4 - 7
Diese Doppellösung ist unmöglich. Und so steht fest, dass in EINER der beiden Zellen 'E1' ODER 'F1' der Kandidat '2' oder '8' enthalten sein muss, da NUR DORT (hier in 'E1' und 'F1') zusätzliche Kandidaten (hier '2' und '8') in diesem 'Avoidable Rectangle III/2' vorhanden sind.

Mindestens einer der beiden UNTERSCHIEDLICHEN Kandidaten (hier '2' oder '8') müssen in diesen beiden Zellen (hier in 'E1' ODER 'F1') liegen, damit ein eindeutiges Sudoku mit einer Lösung garantiert ist. Bildet man aus diesen beiden Zellen symbolisch EINE Zelle mit diesen Kandidaten (hier '2,8') und ergänzt diese mit ZWEI weiteren Zellen (hier gelb markiert), so entsteht eine Kombination aus DREI Zellen mit DREI Kandidaten ('Nackter 3er') innerhalb einer Region (hier Block 4).
Und so können diese DREI Kandidaten ausserhalb dieser Kombination als unmögliche Kandidaten innerhalb dieser Region (hier Block 4) sicher ausgeschlossen werden.

In diesem Beispiel ist es die '8' in der hellblau markierten Zelle 'E3'.

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Avoidable Rectangle III/2 ... Beispiel A:



Beispiel mit Kandidatenpaar '15':

600090207004000500070000000500904003040800060000502008230000084000000000900086000



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Avoidable Rectangle III/2 ... Beispiel B:



Beispiel mit Kandidatenpaar '56':

001700000000390000009001320307100805090000010102008609056000900000985000000006100



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Avoidable Rectangle III/2 ... Beispiel C:



Beispiel mit Kandidatenpaar '79':

600000501000518600050609040010002080500000002040705010000900020009800100700060009



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      Avoidable Rectangle   III/3


ZWEI der vier Zellen des 'Avoidable Rectangle III/3' sind bereits mit dem Kandidaten 'A' gelöst und diese ZWEI Zellen liegen DIAGONAL gegenüber.
NUR in ZWEI Zellen sind zusätzliche Kandidaten 'xy' vorhanden. Diese bilden symbolisch EINE Zelle mit diesen ZWEI Kandidaten 'xy' und MIT EINER zusätzlichen Zelle mit diesen ZWEI Kandidaten 'xy' im Schnittbereich entsteht ein symbolischer 'Nackter 2er'. So können diese Kandidaten 'xy' ausserhalb dieser Zellen im Schnittbereich des 'Nackten 2er' sicher ausgeschlossen werden:


      ...........     ...........     ...........     ...........
      :Ax     B :     :Ay     B :     :A      By:     :A   xy By:
      :       xy:     :         :     :xy       :     :         :
      :         :     :         :     :         :     :         :
      :B      Ay:     :B   xy Ax:     :Bx     A :     :Bx     A :
      ...........     ...........     ...........     ...........

Das Auftreten von "Avoidable Rectangle III/3" im weiten Universum aller Sudokus ist sehr selten!
Einige Beispiele werden hier doch gezeigt:



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   |          |          |          |
   | -  -  -  | xy -  -  | -  -  -  |
   | -  -  -  | A  Bx -  | -  -  -  |
   | -  -  -  | xy -  -  | -  -  -  |
   |__________|__________|__________|
   |          |          |          |
   | -  -  -  | -  -  -  | -  -  -  |
   | -  -  -  | -  -  -  | -  -  -  |
   | -  -  -  | -  -  -  | -  -  -  |
   |__________|__________|__________|
   |          |          |          |
   | -  -  -  | -  -  -  | -  -  -  |
   | -  -  -  | -  -  -  | -  -  -  |
   | -  -  -  | By A  -  | -  -  -  |
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Beispiel mit Kandidatenpaar '12':

017030060009000350000050000000070000071305980000891000000060000030080410054000700


Beim Vorhandensein der Kandidaten '1' + '2' innerhalb der hellbraun markierten Zellen, die nicht ein Teil der Vorgabe sind, würde ein Sudoku mit ZWEI Lösungen gebildet, was unmöglich ist.
   1 - 2        2 - 1
   2 - 1        1 - 2
Diese Doppellösung ist unmöglich.
Und mit den beide diagonal positionierten, mit Kandidat '1' gelösten Zellen 'B4' und 'I5' steht fest, in den beiden anderen zwei Zellen 'B5' und 'I4' in diesem 'Avoidable Rectangle III/3' kann nicht gleichzeitig der Kandidat '2' enthalten sein.

Also muss sich mindestens in einer der beiden Zellen 'B5' ODER 'I4' ein ANDERER Kandidat befinden, hier also der Kandidat '4' ODER/UND '9', damit ein eindeutiges Sudoku mit einer Lösung garantiert ist.
Und bildet man aus den zwei Zellen 'B5' und 'I4' symbolisch EINE Zelle mit diesen Kandidaten '4,9' und ergänzt diese mit EINER weiteren Zelle im Schnittbereich von 'B5' und 'I4' (hier gelb markiert 'A4') mit diesen Kandidaten '4,9', so entsteht eine Kombination aus ZWEI Zellen mit ZWEI Kandidaten ('Nackter 2er').
Und so können diese zusätzlichen Kandidaten (hier '4,9') ausserhalb dieser Kombination im Schnittbereich (von 'B5' und 'I4' und 'A4') als unmögliche Kandidaten sicher ausgeschlossen werden.

In diesem Beispiel sind es die '4' und '9' in der hellblau markierten Zelle 'C4'.

Und dass wir nicht wissen, ob nun in den beiden Zellen 'B5' und 'I4' nun die '4' ODER die '9' ODER auch beide enthalten sind, spielt dabei überhaupt keine Rolle!

Oder wir testen einfach mal, was passiert, wenn einer der rot markierten Kandidaten '4' oder '9' in 'C4' nun WAHR wären:

 •  'C4'='4' --> 'A4' keine '4' --> 'A4'='9' --> 'I4' keine '9' --> 'I4'='2'!
     'C4'='4' --> 'B5' keine '4' --> 'B5'='2'!

 •  'C4'='9' --> 'A4' keine '9' --> 'A4'='4' --> 'B5' keine '4' --> 'B5'='2'!
     'C4'='9' --> 'I4' keine '9' --> 'I4'='2'!

Also in beiden Fällen würde eine unmögliche Doppellösung entstehen und das geht doch so nicht!

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   | -  -  -  | -  -  -  | -  -  -  |
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   |          |          |          |
   | xy xy B  | -  -  -  | -  -  Ax |
   | -  -  -  | -  -  -  | -  -  -  |
   | -  -  Ay | -  -  -  | -  -  B  |
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   | -  -  -  | -  -  -  | -  -  -  |
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Beispiel mit Kandidatenpaar '89':

201003900000600002806004705000306000000901000600050320504009207060040000900005601


Beim Vorhandensein der Kandidaten '8' + '9' innerhalb der hellbraun markierten Zellen, die nicht ein Teil der Vorgabe sind, würde ein Sudoku mit ZWEI Lösungen gebildet, was unmöglich ist.
   9 - 8        8 - 9
   8 - 9        9 - 8
Diese Doppellösung ist unmöglich.
Und mit den beide diagonal positionierten, mit Kandidat '9' gelösten Zellen 'D3' und 'F9' steht fest, in den beiden anderen zwei Zellen 'D9' und 'F3' in diesem 'Avoidable Rectangle III/3' kann nicht gleichzeitig der Kandidat '8' enthalten sein.

Also muss sich mindestens in einer der beiden Zellen 'D9' ODER 'F3' ein ANDERER Kandidat befinden, hier also der Kandidat '4' ODER/UND '7', damit ein eindeutiges Sudoku mit einer Lösung garantiert ist.
Und bildet man aus den zwei Zellen 'D9' und 'F3' symbolisch EINE Zelle mit diesen Kandidaten '4,7' und ergänzt diese mit EINER weiteren Zelle im Schnittbereich von 'D9' und 'F3' (hier gelb markiert 'D1') mit diesen Kandidaten '4,7', so entsteht eine Kombination aus ZWEI Zellen mit ZWEI Kandidaten ('Nackter 2er').
Und so können diese zusätzlichen Kandidaten (hier '4,7') ausserhalb dieser Kombination im Schnittbereich (von 'D9' und 'F3' und 'D1') als unmögliche Kandidaten sicher ausgeschlossen werden.

In diesem Beispiel sind es die '4' und '7' in der hellblau markierten Zelle 'D2'.

Und dabei spielt es überhaupt keine Rolle, dass wir nicht wissen, ob nun in den beiden Zellen 'D9' und 'F3' nun die '4' ODER die '7' ODER auch beide enthalten sind!

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